Уравнение несущей линии с эллиптическими кромками

В. Э. Петров

Санкт-Петербург, Российская Федерация

Аннотация: В статье рассматривается уравнение несущей линии Прандтля,
$$\Gamma(x)-{p(x)\over \pi } \int\limits _{-1}^1{\Gamma'(t)\over t-x}\, dt = p(x) H_0(x),\ \ \ \ \Gamma(\pm1)=0, \ \ \ (1)$$
описывающее циркуляцию $\Gamma(x)$ на тонком крыле с хордой $p(x)$ в однородном набегающем потоке $H_0(x)=1$. К настоящему времени известен только один случай точного решения – это эллиптическое крыло, когда $p(x)=\sqrt{1-x^2}.$ Мы рассматриваем обобщение этого случая, когда кромки крыла остаются эллиптическими, но геометрия может быть достаточно общей, а именно
$$p(x)={\alpha x + b\over \gamma x + d}\,\sqrt{1-x^2}\geq 0, \ \ -1\leq x \leq 1. \ \ \ (3)$$
Предполагается, что $p(x)\geq 0.$ Уравнение в этом случае сводится к бесконечной рекуррентой системе с линейными коэффициентами. Она решается некоторой модификацией метода Лапласа. В результате получено интегральное представление для решения системы и с ее помощью представление самого решения уравнения (1). Также приведен вид решения в виде гипергеометрической функции Аппеля $F_1.$ Отдельно рассмотрены предельные случаи $b=\alpha\ne0$ и $\alpha=0.$

Ключевые слова: уравнение Прандтля, несущая линия

УДК: 517.968.23

MSC: 45E05, 45A05