Эквивалентность путей в галилеево-симплектической геометрии

К. К. Муминов, В. И. Чилин

Национальный университет Узбекистана, Вузгородок, Ташкент, 100174, Узбекистан

Аннотация: Пусть $V$ — $2n$-мерное линейное пространство над полем действительных чисел $R$ и $GL\left( 2n,\,R \right)$ — группа всех обратимых линейных преобразований пространства $V$, и пусть $G$ подгруппа группы $GL\left( 2n,\,R \right)$. Путем в $V$ называют вектор-функцию ${x:(0,1)\to V, x(t)=\left\{ {{x}_{i}}(t) \right\}_{i=1}^{2n}}$, у которой все координатные отображения ${{{x}_{i}}:\left( 0,1 \right)\to R}$ является бесконечно дифференцируемыми функциями. Говорят, что два пути $x(t)$ и $y(t)$ являются $\,G$-эквивалентными, если существует такой элемент ${\,g\in \,\,G}$, что ${y(t)\,=gx(t)}$ для всех ${t\in \,(0,1)}$. Решается задача о нахождении необходимых и достаточных условий для $G$-эквивалентности путей для галилеево-симплектической группы $\Gamma Sp\left( 2n,\,R \right)$ всех таких линейных преобразований ${g=(g_{i,j})_{i,j=1}^{2n} \in GL\left( 2n,\,R \right)}$, для которых $g_{11}=\pm 1, g_{2n,2n}=\pm 1,\, (g_{i,j})_{i,j=2}^{2n-1}\in Sp(2n-2,R)$, где $Sp(2n-2,R)$ есть симплектическая группа обратимых линейных преобразований пространства $R^{2n-2}$. Для решения этой задачи рассматривается дифференциальное поле всех $\Gamma Sp(2n,R)$-инвариантных $d$-рациональных функций и дается описание конечной системы образующих этого поля. Рассматривается класс $\Gamma Sp(2n,R)$-регулярных путей, лежащих в $R^{2n}$, т.е. таких путей $x(t)=\left\{x_{i}(t) \right\}_{i=1}^{2n}\subset R^{2n}$, $t\in (0,1)$, для которых $\det M_{2n-2}(x(t))$ не равен нулю для всех $t\in (0,1)$, где
$$M_{2n-2}(x(t))=\left( x_{i}^{(j)}(t) \right)_{j=0,1,...,2n-3,\,\,\,\,i=2,...,2n-1}, \ x_{i}^{(0)}(t) = x_{i}(t),$$
$x_{i}^{(j)}(t)$ — производная $j$-го порядка координатной функции ${x}_{i}\left( t \right)\,$, $i=2,...;2n-1, \ j=1,...,2n-3$. Для этого класса путей получены необходимые и достаточные условия их эквивалентности при действии группы $\Gamma Sp(2n,R)$.

Ключевые слова: Галилеево-симплектическая группа движений, дифференциальные инварианты, регулярные пути в конечномерном пространстве.

УДК: 514.74

MSC: 53A15, 53A35, 53A55