Нелинейные продольные пространственно локализованные волны деформации, распространяющиеся в стержне Бишопа, находящемся
в магнитном поле и имеющем поврежденность материала
Аннотация:
Изучается распространение продольных волн в однородном нелинейно-упругом стержне, находящемся во внешнем нестационарном магнитном поле, в случае наличия поврежденности в материале стержня. Динамическое поведение стержня определяется теорией Бишопа. Исходная система уравнений рассматривается в двух предельных и в общем случаях. В первом предельном случае предполагается, что в условиях сильного магнитного поля материал стержня обладает большим электрическим сопротивлением. Во втором предельном случае полагается, что материал стержня обладает свойством идеальной проводимости. В каждом частном случае система сводится к одному нелинейному уравнению пятого порядка относительно продольного смещения частиц стержня. С учетом малого времени релаксации получены эволюционные уравнения относительно функции продольной деформации, представляющие собой известное уравнение волновой динамики – уравнение Курамото–Сивашинского и его обобщение, содержащее дополнительное квадратично-нелинейное слагаемое. Методом простейших уравнений найдены точные решения полученных эволюционных уравнений. Показано, что решения описывают пространственно локализованные волны деформации в виде солитонов и ударных волн. Проанализированы зависимости характерных параметров стационарных волн (амплитуда, ширина фронта, скорость распространения) от параметров системы. В общем случае система сводится к нелинейному уравнению седьмого порядка. В обыкновенных производных и при некоторых соотношениях между параметрами уравнение переходит в уравнение ангармонического осциллятора с двумя типами квадратичной нелинейности. Найден первый интеграл уравнения. Проведенный качественный анализ показал возможность распространения в системе волн деформации: нелинейных периодических и пространственно локализованных солитонного типа.
Полный текст:
PDF файл (671 kB)
Первая страница:
PDF файл