О порождаемости групп ${GL_n(q)}$ и ${PGL_n(q)}$ тремя инволюциями, две из которых перестановочны

И. А. Марковская, Я. Н. Нужин

Институт математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета, г. Красноярск

Аннотация: Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть $(2\times 2,2)$-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций. В частности, в нашем определении любая диэдральная группа является $(2\times 2,2)$-порожденной. Вопрос о $(2\times 2,2)$-порождаемости конечных простых групп был поставлен В. Д. Мазуровым в Коуровской тетради в 1980 году. Ответ на этот вопрос известен, и он положителен, за исключением трех знакопеременных групп, некоторых групп лиева типа ранга не больше трех и четырех спорадических групп. В данной статье рассматривается $(2\times 2,2)$-порождаемость общей линейной группы $GL_n(q)$ над конечным полем порядка $q$ и ее проективного образа $PGL_n(q)$. Доказано, что $GL_n(q)$ (соответственно $PGL_n(q)$) тогда и только тогда является $(2\times 2,2)$-порожденной, когда либо a) $q=2$ и $n=2$ или $n\geq5$, либо б) $q=3$ и $n\geq 5$ (соответственно когда либо а) $n=2$ и $q$ любое, либо б) $n\geq 4$ и $(n,q-1)=2$, либо в) $n\geq 5$ и $(n,q-1)=1$).

Ключевые слова: общая и проективная линейные группы, конечное поле, порождающие тройки инволюций.

УДК: 512.5

MSC: 20G40

Поступила в редакцию: 11.04.2024
Исправленный вариант: 25.04.2024
Принята в печать: 28.04.2025

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03

Реферативные базы данных:

•