Полупространство в $\mathbb Z^n$ образует чебышёвское подпространство в $L_1[0, 1]^n$

Б. Б. Беднов

Первый Московский государственный медицинский университет имени И. М. Сеченова

Аннотация: В банаховом пространстве $X$ подпространство $Y$ называется чебышёвским, если для каждого $x \in X$ существует и единствен ближайший в $Y$ элемент. В 1940 году Дуб доказал, что пространство Харди $H_1$ образует чебышёвское подпространство в пространстве $L_1[0, 1]$ комплекснозначных функций. При этом пространство Харди $H_1$ изометрически изоморфно подпространству $Y_{\mathbb N} \subset L_1[0, 1]$, определенному как замыкание линейной оболочки комплексных экспонент со спектром в $\mathbb N$. В 1974 году Кахан описал все множества $M$ в $\mathbb Z$, для которых замыкание линейной оболочки комплексных экспонент со спектром из такого множества образует чебышёвское подпространство в $L_1[0, 1]$. Это бесконечные арифметические последовательности с нечетной разностью. То есть возможны два вида таких множеств с точностью до сдвига на целое число: $(2n + 1)\mathbb N$ и $(2n + 1)\mathbb Z$, $n \in \mathbb N\cup\{0\}$. В работе Кахана доказательства для множеств $\mathbb N$ и $(2n + 1)\mathbb N,\, n \in \mathbb N$, различны. В настоящей работе предпринята попытка частично обобщить результат Кахана на случай многих переменных. Так, в пространстве $L_1[0, 1]^n$ комплекснозначных функций $n$ действительных переменных исследуются существование и единственность элемента наилучшего приближения в замыкании линейной оболочки экспонент со спектром из пересечения $\mathbb Z^n$ с полупространством, ограниченном гиперплоскостью. Доказательство следует доказательству Кахана для множества $\mathbb N$.

Ключевые слова: комплексное пространство $L_1$, чебышевское подпространство, теорема Кахана, хорошо расположенное подмножество, дискретная абелева группа.

УДК: 517.982.256 + 515.124.4

MSC: 41A30, 41A50, 41A52, 41A65, 43A20

Поступила в редакцию: 10.06.2025
Исправленный вариант: 01.09.2025
Принята в печать: 08.09.2025

Реферативные базы данных:

•