Эта публикация цитируется в 1 статье

Внутренняя структура выпуклых множеств и их граней

В. В. Гороховик

Институт математики НАН Беларуси, г. Минск

Аннотация: Чаще всего геометрическая строение выпуклых множеств связывается с их граневой структурой.\linebreak В первом разделе настоящей статьи представлен несколько иной подход к характеристике геометрической структуры выпуклых множеств, основанный на понятии открытой компоненты выпуклого множества. Исследование проводится в бесконечномерных вещественных пространствах без топологии. Для того чтобы определить понятие открытой компоненты, на выпуклом множестве $Q$ вводится отношение предпорядка $\unlhd_Q$ (свое для каждого множества $Q$), названное отношением доминирования. Открытыми компонентами выпуклого множества $Q$ называются классы эквивалентности фактор-множества $Q/\mathbin{<\!>}_Q$ множества $Q$ по отношению эквивалентности $\mathbin{<\!>}_Q$, которое является симметричной частью отношения доминирования $\unlhd_Q$. Каждая открытая компонента выпуклого множества $Q$ является относительно алгебраически открытым подмножеством данного множества $Q$, при этом множество $Q$ является дизъюнктным объединением всех принадлежащих ему открытых компонент множества $Q$. Отношение доминирования $\unlhd_Q$ индуцирует на семействе ${\mathcal O}(Q):= Q/\mathbin{<\!>}_Q$ всех открытых компонент множества $Q$ отношение частичного порядка $\unlhd_Q^*$, относительно которого частично упорядоченное семейство $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$ является верхней полурешеткой. Для полупространств (выпуклых множеств $H$, дополнения которых также выпуклы) соответствующая им верхняя полурешетка $({\mathcal O}(H),\unlhd_H^*)$ является линейно упорядоченным множеством. Внутренняя структура выпуклого множества $Q$ отождествляется в работе со структурой верхней полурешетки $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$. Во втором разделе статьи исследуется связь между внутренней структурой выпуклого множества и внутренней структурой его граней. Устанавливается, что каждая открытая компонента выпуклого множества $Q$ является относительной алгебраической внутренностью минимальной (по включению) грани множества $Q$, содержащей данную открытую компоненту. Обратно, если грань $F$ выпуклого множества $Q$ имеет непустую относительную алгебраическую внутренность, то она (относительная алгебраическая внутренность грани) совпадает с некоторой открытой компонентой множества $Q$, а сама грань $F$ является минимальной гранью, содержащей эту открытую компоненту (такие грани названы в работе минимальными). В конечномерных векторных пространствах любая грань $F$ выпуклого множества $Q$ является минимальной гранью, в то же время в любом бесконечномерном векторном пространстве существуют выпуклые множества, не все грани которых минимальны. Вместе с тем, каждая открытая компонента любой грани $F$ выпуклого множества $Q$ является открытой компонентой самого множества $Q$, т. е. ${\mathcal O}(F) \subset {\mathcal O}(Q)$, и, кроме того, отношение частичного порядка $\unlhd_F^*$, определенное на ${\mathcal O}(F)$, совпадает с сужением на ${\mathcal O}(F)$ отношения частичного порядка $\unlhd_Q^*$, заданного на ${\mathcal O}(Q)$. Таким образом, внутренняя структура $({\mathcal O}(F),\unlhd_F^*)$ любой грани $F$ выпуклого множества $Q$ является подструктурой внутренней структуры $({\mathcal O}(Q),\unlhd_Q^*)$ самого множества $Q$.

Ключевые слова: выпуклые множества, полупространства, грань, открытая компонента, полурешетка, предпорядок, линейный порядок.

УДК: 514.172

MSC: 52A05, 52A99

Поступила в редакцию: 14.02.2025
Исправленный вариант: 18.03.2025
Принята в печать: 24.03.2025

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-fon-04

Реферативные базы данных:

•