О дополняемости и линейной гомеоморфности пространств $C_p(X)$ для счетных метрических пространств $X$

Т. Е. Хмылева

Томский государственный университет, механико-математический факультет

Аннотация: В данной работе рассматривается вопрос о дополняемости пространства $C_p(X)$ в пространстве $C_p(Y)$ для счетных разреженных метризуемых пространств $X$ и $Y$. Говорят, что пространство $C_p(X)$ дополняемо вкладывается в пространство $C_p(Y)$, если существует линейный гомеоморфизм $C_p(X)$ на дополняемое подпространство $L\subset C_p(Y)$. Доказано, что если для некоторого ординала $\alpha$ производная $X^{(\alpha\cdot\omega)}\neq\varnothing$, а $Y^{(\omega)}=\varnothing$, то пространство $C_p(X)$ дополняемо не вкладывается в пространство $C_p(Y)$. Наряду с $X^{(\alpha)}$ рассматриваются производные $X^{\{\alpha\}}$, которые определяются аналогично $X^{(\alpha)}$ отбрасыванием точек, обладающих компактной окрестностью. Доказано, что если $X^{\{\alpha\}}\neq\varnothing$, а $Y^{\{\alpha\}}=\varnothing$, то пространство $C_p(X)$ дополняемо не вкладывается в пространство $C_p(Y)$. Доказано также, что если $X^{\{\alpha\}}=Y^{\{\alpha\}}=\varnothing$, $X^{\{\alpha -1\}}$ — локально компактное некомпактное пространство, а $Y^{\{\alpha -1\}}$ — компакт, то пространство $C_p(X)$ дополняемо не вкладывается в пространство $C_p(Y)$. Для доказательства используется метод разложения пространства $C_p(X)$ в счетное произведение пространств $C_p(X_n)$ и существование непрерывного линейного оператора продолжения $T:C_p(L)\longrightarrow C_p(X)$ для замкнутого подмножества $L\subset X$.

Ключевые слова: гомеоморфизм, линейный гомеоморфизм, топология поточечной сходимости, ретракт, проектор, дополняемые подпространства, ординал, теорема о замкнутом графике.

УДК: 517.977

MSC: 46E15, 46E40, 54C30

Поступила в редакцию: 27.11.2024
Исправленный вариант: 14.02.2025
Принята в печать: 17.02.2025

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-236-246

Реферативные базы данных:

•