О реализации счетных существенных спектров показателей колеблемости линейной однородной двумерной дифференциальной системы

А. Х. Сташ, Н. А. Лобода

Адыгейский государственный университет, г. Майкоп

Аннотация: В настоящей работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости решений линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными коэффициентами. Подсчет показателей колеблемости происходит путем усреднения числа нулей (или знаков, или корней, или гиперкорней) проекции решения $x$ дифференциальной системы на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получаются слабые показатели колеблемости, а если после, то — сильные показатели колеблемости. При вычислении показателей колеблемости решения $y$ линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка осуществляется переход к вектор-функции $x=(y, \dot y,\dots, y^{(n-1)})$. Эти показатели тесно связаны с пересечениями решениями гиперплоскостей (проходящих через начало координат), т.е. с колеблемостью проекций этих решений на всевозможные прямые. Основной результат работы заключается в конструктивном построении двумерной линейной ограниченной системы, обладающей тем свойством, что ее спектры всех верхних и нижних, сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней совпадают с любым наперед заданным замкнутым ограниченным счетным множеством неотрицательных рациональных чисел с единственной нулевой предельной точкой. Более того, для любого ненулевого решения построенной системы все показатели колеблемости совпадают между собой, причем каждое их значение является метрически и топологически существенным. При построении указанной системы и доказательстве основного результата использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и специальная методика управления фундаментальной матрицей двумерной дифференциальной системы.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, колеблемость, число нулей, показатель Ляпунова, частота Сергеева, показатель колеблемости, показатель блуждаемости.

УДК: 517.926.7

MSC: 34A30, 34C10, 34D05

Поступила в редакцию: 10.09.2024
Исправленный вариант: 27.11.2024
Принята в печать: 02.12.2024

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-199-209

Реферативные базы данных:

•