О периодических решениях системы разностных уравнений, период которых взаимно прост с периодом системы

А. В. Ласунский

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

Аннотация: В работе доказано, что если линейная неоднородная периодическая система $ x(n+1)=P(n)x(n) +f(n), $ в которой матрицы $P(n)$ и $f(n)$ $\omega$-периодичны $(\omega\neq 1)$, $\det P(n)\neq 0 $, имеет $\Omega$-периодическое решение $(\Omega\neq 1)$, период которого взаимно прост с периодом системы, то существует $n_{0}\in \mathbb Z_{+}$ такое, что для всех $n\in \mathbb Z_{+}$ $ \det(P(n)-P(n_{0}))=0. $ Приведен пример линейной неоднородной системы второго порядка, в которой матрицы $P(n)$ и $f(n)$ имеют общий период 3, а система имеет 2-периодическое решение. Построены $\omega$-периодические ($\omega\neq 1$) нелинейные системы разностных уравнений в двумерном и трехмерном случаях, имеющие решение, период которого $\Omega\neq 1$ взаимно прост с $\omega$, но при этом система не имеет $\omega$-периодических решений. Доказано, что дискретное неавтономное логистическое уравнение
$$ x_{n+1}=x_{n}\exp\Big(r_{n}\Big(1-\frac{x_{n}}{K_{n}}\Big)\Big), $$
где $\{r_{n}\}$ и $\{K_{n}\}$ — положительные периодические последовательности с общим периодом $\omega$ ($\omega\neq 1$), не может иметь $\Omega$-периодическое решение ($\Omega\neq 1$), период которого взаимно прост с $\omega$.

Ключевые слова: периодические решения периодической системы разностных уравнений, взаимная простота периодов.

УДК: 517.929.5

MSC: 39A33

Поступила в редакцию: 08.10.2024
Исправленный вариант: 16.11.2024
Принята в печать: 25.11.2024

DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-110-118

Реферативные базы данных:

•