Аннотация:
Найдутся такие положительные числа $C$ и $c$, что для произвольной выпуклой вверх функции типа модуля непрерывности $\omega(t)$, у которой $\omega(t)/t\to+\infty$ при $t\to+0$, можно построить пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции $W_\omega(x)$ типа Вейерштрасса, для которой выполнены следующие условия. $1^{\circ}$. Модуль непрерывности функции $W_\omega(x)$ не превосходит $C\omega(t)$. $2^{\circ}$. Для каждой точки $x_0$ найдется сходящаяся к $x_0$ последовательность $\{x_n\}$, для которой при каждом номере $n$ выполнено неравенство $|W_\omega(x_n)-W_\omega(x_0)|>c\,\omega(|x_n-x_0|)$. $3^{\circ}$. В каждой точке производные числа функции $W_\omega(x)$ принимают любое значение из промежутка $[-\infty;+\infty]$.
Ключевые слова:
модуль непрерывности, нигде не дифференцируемая непрерывная функция, производные числа, нигде не дифференцируемая непрерывная функция типа Вейерштрасса.
Полный текст:
PDF файл (238 kB)