О существовании спорадического композиционного фактора в некоторых конечных группах

М. Р. Зиновьева<sup>ab

a</sup> Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
^b Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург

Аннотация: Пусть $G$ — конечная группа, $\pi(G)$ — множество всех простых делителей ее порядка, $\omega(G)$ — множество всех порядков ее элементов (ее спектр). Графом простых чисел (или графом Грюнберга — Кегеля) конечной группы $G$ называется граф $GK(G)$, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. Графы простых чисел простых неабелевых групп известны. Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп по свойствам их графов простых чисел. Мы исследуем неабелевы композиционные факторы конечных групп с графом простых чисел как у известной простой группы. В 2011 г. А. М. Старолетов изучил конечные группы, имеющие спектр как у конечной простой группы и спорадический композиционный фактор. Обобщая этот результат, мы рассматриваем в статье вопрос о том, может ли композиционный фактор конечной группы с графом простых чисел как у конечной простой группы быть изоморфным спорадической группе. Показано, что конечная группа с графом простых чисел как у простой исключительной группы лиева типа, отличной от $G_2(q)$ и ${^3}D_4(q)$, или как у простых классических групп $L_n(q)$, $U_n(q)$, $O_{2n+1}(q)$, $S_{2n}(q)$ для достаточно большого $n$ не имеет спорадических композиционных факторов, отличных от $F_1$. Кроме того, описаны спорадические композиционные факторы $S$ конечных групп $G$ с условиями $GK(G)=GK(H)$ и $\pi(G)=\pi(S)$, где $H$ — простая знакопеременная группа или простая группа лиева типа.

Ключевые слова: конечная группа, простая группа, спорадическая группа, исключительная группа лиева типа, классическая группа, граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля).

УДК: 512.542

MSC: 20D06, 20D20, 20D60, 20C20, 05C25

Поступила в редакцию: 26.06.2024
Исправленный вариант: 21.10.2024
Принята в печать: 28.10.2024

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-134-148

Реферативные базы данных:

•