Эта публикация цитируется в
2 статьях
Многочлены, наименее уклоняющихся от нуля на квадрате комплексной плоскости
Э. Б. Байрамов Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Аннотация:
Исследуется задача Чебышева на квадрате $\Pi=\left\{z=x+iy\in\mathbb{C}\colon \max\{|x|, |y|\}\le 1\right\}$ комплексной плоскости
$\mathbb{C}$. Пусть
$\mathfrak{P}_n$ есть множество алгебраических многочленов заданной степени
$n$ с единичным старшим коэффициентом. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение
$\tau_n(\Pi)$ равномерной нормы
$\|p_n\|_{C(\Pi)}$ на квадрате
$\Pi$ многочленов
$p_n\in \mathfrak{P}_n$ и многочлен с наименьшей нормой, называемый многочленом Чебышева (для квадрата). Найдена постоянная Чебышева $\tau(Q)=\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\tau_n(Q)}$ для квадрата. Тем самым найдена логарифмическая асимптотика наименьшего уклонения
$\tau_n(\Pi)$ по степени многочлена. Дано точное решение задачи для многочленов от первой до седьмой степени. Сужен класс многочленов в задаче, а именно, доказано, что если
$n=4m+s,\ 0\le s\le 3,$ то задачу достаточно решать на множестве многочленов
$z^sq_m(z),\ q_m\in \mathfrak{P}_m.$ Получены эффективные двусторонние оценки величины наименьшего уклонения
$\tau_n(\Pi)$ по
$n$.
Ключевые слова:
алгебраический многочлен, равномерная норма, квадрат комплексной плоскости, многочлен Чебышева.
УДК:
517.538+
519.651
MSC: 30C10,
30C15,
30E10 Поступила в редакцию: 01.07.2018
DOI:
10.21538/0134-4889-2018-24-3-5-15
Полный текст:
PDF файл (225 kB)