Прикладная математика и механика

Исследование вынужденных колебаний в неоднородной цепочке линейных осцилляторов методом Ляпунова-Шмидта

П. А. Шаманаев^a, Д. А. Катин^b, Н. В. Ошина<sup>b

a</sup> Научно-технологический университет «Сириус», н.п. Сириус
^b Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева, г. Саранск

Аннотация: Исследуются продольные колебания неоднородной цепочки линейных осцилляторов, соединённых пружинами. Крайние пружины цепочки жёстко закреплены на неподвижных опорах. Система находится под действием внешних периодических сил. Неоднородность цепочки (возмущенная система) обусловлена тем, что коэффициенты жёсткости пружин различны. Коэффициенты жёсткости мало отклоняются от некоторого номинального значения и зависят от безразмерных параметров отклонения. Нулевое значение безразмерных параметров отклонения соответствует однородной (невозмущённой) системе. Рассматривается резонансный случай, когда частота внешней периодической силы совпадает с одной из собственных частот невозмущенной системы. Для построения точного периодического решения возмущенной системы применяется метод Ляпунова–Шмидта. Благодаря линейности задачи, этот метод позволяет свести её к конечномерной алгебраической задаче построения обобщённой жордановой цепочки для вырожденного линейного оператора. Получены необходимые и достаточные условия на безразмерные параметры отклонения, при которых длина такой цепочки равна $1$ или $2$. Для каждого случая выведены точные явные формулы для элементов цепочки, дающие полное описание периодического решения. Показано, что при длине обобщенной жордановой цепочки, равной $1$, и стремлении малого параметра $\varepsilon$ к нулю периодическое решение возмущенной системы непрерывно переходит в некоторое периодическое решение невозмущенной системы. Если же длина обобщенной жордановой цепочки равна $2$, то периодическое решение возмущенной системы имеет полюс первого порядка в точке $\varepsilon=0$, а при $\varepsilon=0$ переходит в однопараметрическое семейство периодических решений невозмущенной системы. Численное моделирование проводилось на примере цепочки из восьми осцилляторов. Построены графики периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы при различных значениях малого параметра.

Ключевые слова: цепочка связанных линейных осцилляторов, вынужденные периодические колебания, амплитуда колебаний, резонанс, метод Ляпунова-Шмидта, обобщенный жорданов набор

УДК: 517.926

MSC: Primary 34C10; Secondary 34C25

Поступила в редакцию: 15.08.2025
Принята в печать: 26.11.2025

DOI: 10.15507/2079-6900.27.202504.471-487