Математика

Множества вращения $\mathrm{SO(3)}$-расширений квазипериодических потоков

А. Н. Сахаров

Нижегородский государственный аграрно-технологический университет им. Л. Я. Флорентьева

Аннотация: В настоящей статье строится класс специальных потоков на многомерном торе и топологический инвариант таких потоков – множество вращения. Такие потоки возникают в процессе приведения к треугольному виду линейных систем дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. В процессе такого приведения получается система нелинейных дифференциальных уравнений на многомерном торе, которая порождает проективный поток, индуцируемый исходной линейной системой. В работе строится алгоритм $\mathrm{SO(n)}$-расширения квазипериодической линейной системы. При этом используются известные результаты из теории матричных групп и алгебр Ли. Полученная система уравнений допускает понижение порядка, что позволяет записать правые части в виде тригонометрических полиномов от углов Эйлера на сфере. Случай $n=3$ рассматривается отдельно. Уравнения, определяющие проективный поток, записываются в явном виде. Проективный поток определен на торе размерности $m+2$, где $m$ – размерность исходного тора. Структура этого потока определяется топологическими инвариантами потока. Например, неособый поток на двумерном торе имеет топологический инвариант – число вращения (А. Пуанкаре). Используя метод М. Эрмана, удается доказать существование и единственность вектора вращения $(\rho_1,\rho_2)$ для проективного потока на $\mathbb{T}^{m+2}$. С помощью теории С. Шварцмана определения множества вращения для потоков на компактных метрических пространствах показывается, что компонента $\rho_2=0$. Здесь используется факт, что размерность максимальной торической подалгебры алгебры $\mathrm{so(3)}$ равна единице.

Ключевые слова: линейные расширения, групповое расширение, проективное расширение, торическая подалгебра, вектор вращения, асимптотические циклы

УДК: 517.93

MSC: 34D20

Поступила в редакцию: 15.02.2025
Принята в печать: 28.05.2025

DOI: 10.15507/2079-6900.27.202502.171-184