Математика

Задача Дирихле для уравнений составного типа высокого порядка с разрывными коэффициентами

А. И. Григорьева<sup>ab

a</sup> Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, кафедра высшей математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891
^b Академия наук Республики Саха (Якутия), пр. Ленина, 33, Якутск 677891

Аннотация: Изучается разрешимость задачи Дирихле для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа вида
$$D_t\big[(-1)^pD^{2p+1}_tu-h(x)u_{xx}\big]+a(x)u_{xx}+c(x,t)u=f(x,t)$$
в области $Q= \{(x,t)\,:\,x\in(-1,0)\cup(0,1),\,t\in(0,T),\,0<T<+\infty\}$ ($p\geq 1$ целое, $D^k_t=\frac{\partial^k}{\partial t^k},$ $D_t=\frac{\partial}{\partial t}$). Особенностью рассматриваемых уравнений является то, что коэффициенты $h(x)$ и $a(x)$ в нем могут иметь разрыв первого рода при переходе через точку $x = 0$. Помимо обычных граничных условий Дирихле в изучаемой задаче задаются также условия сопряжения на линии $x = 0$. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения составного типа, задача Дирихле, разрывные коэффициенты, регулярные решения, существование, единственность.

УДК: 517.946

Поступила в редакцию: 20.10.2021
Исправленный вариант: 20.10.2021
Принята в печать: 26.11.2021

DOI: 10.25587/SVFU.2021.56.53.002