Описание $3$-граней в $3$-многогранниках без смежных треугольников
О. В. Бородинa,
А. О. Ивановаb a Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
b Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000
Аннотация:
За последние несколько десятилетий немало исследований было посвящено задачам о строении и раскраске плоских графов, разреженных в том или ином смысле.
В этой статье рассмотрены наиболее плотные среди неплотных
$3$-многогранников, а именно не содержащие смежных
$3$-циклов. О. В. Бородин в 1996 г. доказал, что такие
$3$-многогранники содержат вершину степени не более
$4$ и, более того, ребро с суммой степеней концевых вершин не более
$9$, где обе оценки неулучшаемы.
Через
$d(v)$ обозначим степень вершины
$v$. Ребро
$e=xy$ в
$3$-многограннике есть
$(i,j)$-ребро, если
$d(x)\le i$ и
$d(y)\le j$. Известный
$(3,5;4,4)$-полуправильный многогранник отвечает плоской четыреангуляции, в которой каждое ребро соединяет
$3$-вершину с
$5$-вершиной. В частности, этот многогранник не содержит
$3$-циклов.
Недавно О. В. Бородин и А. О. Иванова доказали, что любой
$3$-многогранник, не содержащий ни смежных
$3$-циклов, ни
$(3,5)$-ребер, содержит
$3$-грань с суммой степеней инцидентных вершин (весом) не более
$16$, причем эта оценка неулучшаема.
$3$-Грань
$f=(x,y,z)$ называется
$(i,j,k)$-
гранью или
гранью типа $(i,j,k)$, если
$d(x)\le i$,
$d(y)\le j$ и
$d(z)\le k$. Цель данной работы — доказать, что существуют ровно два точных описания типов
$3$-граней в
$3$-многогранниках без смежных
$3$-граней при указанном выше необходимом условии отсутствия
$(3,5)$-ребер, а именно:
$\{(3,6,7) \vee (4,4,7)\}$ и
$\{(4,6,7)\}$. \par Отсюда следует, что имеет место единственное точное описание
$3$-граней в
$3$- многогранниках без
$3$-вершин, не содержащих смежных
$3$-граней:
$\{(4,4,7)\}$.
Ключевые слова:
плоский граф,
$3$-многогранник, разреженный
$3$-многогранник, структурное свойство,
$3$-грань, вес.
УДК:
519.17
MSC: 35R30 Статья поступила: 30.10.2024
Окончательный вариант: 30.10.2024
Принята к печати: 25.12.2024
DOI:
10.33048/smzh.2025.66.102
Полный текст:
PDF файл (266 kB)
Первая страница:
PDF файл