Аналоги теорем Чернова и Ли–Троттера
А. Ю. Неклюдов Механико-математический факультет
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
Аннотация:
Изучается абстрактная задача Коши
$\dot x=\mathrm{A}x$,
$x(0)=x_0\in\mathscr{D}(\mathrm{A})$ для линейных плотно определенных операторов
$\mathrm{A}$ в банаховом пространстве
$\mathbf X$. Доказано, что решение
$x(\,\cdot\,)$ этой задачи может быть представлено в виде предела
$\lim_{n\to\infty}\{\mathrm F(t/n)^nx_0\}$ в слабой топологии
$\sigma(\mathrm{X},\mathrm{X}^*)$, где функция $\mathrm F\colon[0,\infty)\mapsto\mathscr L(\mathrm X)$ удовлетворяет равенству
$\mathrm F'(0)y=\mathrm{A}y$,
$y\in\mathscr{D}(\mathrm{A})$, для естественного класса операторов. В отличие от теоремы Чернова здесь не предполагается существование глобального решения задачи Коши. На основе этого результата найдены необходимые и достаточные условия того, что линейный оператор
$\mathrm{C}$ замыкаем и его замыкание является генератором
$C_0$-полугруппы. Получены новые критерии того, что сумма двух генераторов
$C_0$-полугрупп является генератором
$C_0$-полугруппы и при этом выполняется формула Ли–Троттера.
Библиография: 13 названий.
Ключевые слова:
теорема Чернова, теорема Ли–Троттера, полугруппы.
УДК:
517.983.23
MSC: Primary
47D06,
34G10; Secondary
47D03,
47D60 Поступила в редакцию: 31.03.2008 и 16.12.2008
DOI:
10.4213/sm5097
Полный текст:
PDF файл (621 kB)
