Единственность разложений в системах счисления и масштабирующие уравнения
С. В. Конягинa,
В. Ю. Протасовbc,
А. Л. Таламбуцаad a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
b Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, University of L'Aquila, L'Aquila, Italy
c Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
d Международная лаборатория теоретической информатики, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Аннотация:
С использованием теории уточняющих схем строится критерий для проверки, имеет ли любое натуральное число не более одного представления в
$n$-ичной системе счисления с множеством неотрицательных целых цифр
$A=\{a_1, a_2,\dots, a_n\}$, содержащим нуль. Устанавливается, что это свойство единственности эквивалентно определенному ограничению на корни тригонометрического многочлена
$\sum_{k=1}^n e^{-2\pi i a_k t}$. Из этого критерия при естественном условии неприводимости для
$A$ мы выводим, что в случае простого
$n$ единственность имеет место тогда и только тогда, когда цифры множества
$A$ различны по модулю
$n$, тогда как для любого составного
$n$ мы показываем, что последнее условие не является необходимым. Также мы устанавливаем связь единственности с проблемой свободности полугруппы для аффинных целочисленных функций равного целочисленного наклона. Это вместе с двумя указанными критериями позволяет заполнить пробел в работе Д. Кларнера по вопросу Эрдёша о плотностях орбит аффинных целочисленных функций и установить простой алгоритм проверки свободности полугруппы и положительности плотности орбиты, когда наклон является простым числом.
Библиография: 29 названий.
Ключевые слова:
система счисления, свободная полугруппа, масштабирующее уравнение, уточняющая схема, борелевская мера.
MSC: 11B75,
20M05,
39A06 Поступила в редакцию: 22.02.2025 и 20.08.2025
DOI:
10.4213/sm10292
Полный текст:
PDF файл (753 kB)
Первая страница:
PDF файл
