О двух различных подходах к определению гиперболичности

С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Аннотация: Рассматривается диффеоморфизм $f$, действующий в банаховом пространстве $E$ и допускающий замкнутое инвариантное множество $A$ (т.е. такое, что $f(A)=A$). Проводится сравнительный анализ двух имеющихся к настоящему времени различных определений гиперболичности множества $A$. Первое из них представляет собой классическое определение Д. В. Аносова и формулируется в терминах $Df$-инвариантного разложения $E_x^{\mathrm u}\oplus E_x^{\mathrm s}$, $x\in A$, исходного пространства $E$ в прямую сумму неустойчивого $E_x^{\mathrm u}$ и устойчивого $E_x^{\mathrm s}$ подпространств. Второе же из определений гиперболичности, предложенное в работах С. В. Зелика с соавторами, базируется на равномерной регулярности некоторого разностного оператора. Как показывается в настоящей статье, эти определения эквивалентны. Попутно устанавливаются актуальные для бесконечномерного случая факты равномерной ограниченности и равномерной непрерывности по $x\in A$ проекторов, отвечающих упомянутому выше разложению пространства $E$. Приводятся также достаточные условия, при которых сужение $f|_A$ обладает характерным для хаотической динамики свойством существенной зависимости траекторий $x_n=f^n(x)$, $n\in \mathbb{N}$, от начальной точки $x\in A$.
Библиография: 35 названий.

Ключевые слова: банахово пространство, диффеоморфизм, инвариантное множество, гиперболичность, неустойчивое и устойчивое подпространства, равномерная регулярность.

MSC: 37D20, 37F15, 37E30, 58B20

Поступила в редакцию: 26.11.2024

DOI: 10.4213/sm10238