Автополярные конические тела и многогранники
М. С. Макаровab,
В. Ю. Протасовc a Московский центр фундаментальной и прикладной математики
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
c Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация:
Антинорма в линейном пространстве является вогнутым аналогом нормы. Она, в отличие от нормы, определена не на всем пространстве
$\mathbb R^d$, а на произвольном конусе
$K\subset \mathbb R^d$. Антинормы применяются в функциональном анализе, оптимальном управлении, динамических системах. Множества уровня антинормы называются коническими телами и (для кусочно линейных антинорм) коническими многогранниками. Основные факты и понятия “вогнутого анализа” антинорм такие, как теоремы отделимости, двойственность, поляры, функционал Минковского и т.д., подобны своим аналогам в выпуклом анализе. Есть, однако, и существенные отличия. Одно из них – существование множества самодвойственных объектов. Мы покажем, что существует бесконечное множество семейств автополярных конических тел и многогранников в конусе
$K=\mathbb R^d_+$, и получим алгоритм их построения. При
$d=2$ он дает полную классификацию самодвойственных антинорм, в то время как при
$d\ge 3$ построены соответствующие контрпримеры.
Библиография: 29 названий.
Ключевые слова:
антинорма, конус, выпуклая двойственность, многогранник, коническое тело.
MSC: 46B10,
52A21,
52B11 Поступила в редакцию: 23.09.2024 и 16.12.2024
DOI:
10.4213/sm10202
Полный текст:
PDF файл (829 kB)
Первая страница:
PDF файл
