Модулярные значения континуант с фиксированными краями

И. Д. Кан

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Аннотация: Настоящая статья посвящается профессору Н. М. Коробову.
Рассмотрим множество всех конечных слов в конечном алфавите $\mathbf{A}\subseteq\mathbb{N}$. К каждому из этих слов добавим префикс $V$ и окончание $W$ – некоторые фиксированные конечные слова в алфавите $\mathbb{N}$. Полученные слова будем понимать как разложения в конечные цепные дроби для некоторых рациональных чисел из интервала $(0,1)$. Далее рассмотрим несократимые знаменатели этих рациональных чисел; множество тех из этих знаменателей, которые не превосходят некоторой величины $N\in \mathbb{N}$ (представляющей собой растущий параметр), обозначим через $\mathfrak{D}^{N}_{\mathbf{A},V,W}$. В работе доказывается, что при определенных условиях на $\mathbf{A}$, $V$ и $W$ для любого простого $Q$, пропорционального некоторой фиксированной дробной степени числа $N$, множество $\mathfrak{D}^{N}_{\mathbf{A},V,W}$ содержит почти все возможные вычеты по модулю $Q$ и в остаточном слагаемом этой асимптотической формулы имеется степенное понижение по $Q$.
Библиография: 35 названий.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма, гипотеза Зарембы, хаусдорфова размерность, цепная дробь, континуанта, ансамбль.

PACS: 11A55

Поступила в редакцию: 11.08.2024 и 12.07.2025

DOI: 10.4213/sm10170