Решение методом конечных элементов краевой задачи для эллиптического уравнения с дельта-функцией Дирака в правой части

Д. Н. Романов^a, М. В. Урев<sup>ab

a</sup> Новосибирский национальный исследовательский государственный университет (НГУ), Новосибирск, Россия
^b Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия

Аннотация: В данной работе на примере уравнения Пуассона рассматриваются вопросы численного решения методом конечных элементов однородной краевой задачи Дирихле для эллиптического уравнения в двумерной многоугольной выпуклой области $\Omega$ с сингулярной правой частью в виде дельта-функции Дирака. Доказана теорема существования и единственности обобщенного решения в дробном гильбертовом пространстве Соболева $H^s(\Omega)$, где $1/2 < s <1$. Предложен и изучен подход к дискретному анализу задачи методом конечных элементов. Приведены результаты численных экспериментов по решению методической задачи с помощью пакета FreeFem++, подтверждающие полученную оценку уклонения дискретного решения от точного.

Ключевые слова: двумерное уравнение Пуассона, сингулярная правая часть, расширенная обобщенная постановка, дробные пространства Соболева, метод конечных элементов, оценка уклонения.

УДК: 519.632

Статья поступила: 28.03.2025
Переработанный вариант: 12.05.2025

DOI: 10.15372/SJNM20250403