Тензор кривизны n-поверхности и ее сферического образа в En+k

Д. В. Шармин, Т. Н. Шармина, В. Г. Шармин

Тюменский государственный университет

Аннотация: Основной задачей классической многомерной дифференциальной геометрии является исследование свойств различных n-поверхностей. Часто в этих исследованиях используются коэффициенты кручения, которые определены для любой n-поверхности, имеющей коразмерность k > 1, в (n + k)-мерном евклидовом пространстве. Для гиперповерхностей коэффициенты кручения не определяются. Другим важным понятием, используемым для изучения свойств n-поверхностей, является сферическое отображение Гаусса. Отображение Гаусса, определенное на подмногообразиях евклидовых и псевдоевклидовых пространств, позволяет изучить внешние свойства подмногообразия, погруженного в евклидово или псевдоевклидово пространство. В ряде работ исследуются свойства отображения Гаусса, а также геометрические характеристики образов подмногообразий при сферическом отображении, которые являются подмногообразиями гиперсферы или грассманиана. В настоящей статье исследуются локальные свойства сферического образа регулярной n-поверхности произвольной коразмерности. Сферическое отображение определено для n-поверхностей с k>1 в евклидовом пространстве с помощью регулярного векторного поля. Каждый вектор этого поля в точке подмногообразия ортогонален касательному пространству подмногообразия в выбранной точке. Используются методы дифференциальной и римановой геометрии, а также тензорного анализа для исследования n-поверхностей с k>1. При некоторых дополнительных условиях установлена связь между тензорами кривизны заданной поверхности и ее сферического образа. При тех же дополнительных условиях изучены некоторые геометрические характеристики точек сферического образа исходной n-поверхности.

УДК: 514.752

Поступила в редакцию: 20.09.2022
Принята в печать: 02.03.2023

DOI: 10.18522/1026-2237-2023-1-29-34

Реферативные базы данных:

•