Принцип кольца в задаче о существовании бесконечномерного инвариантного тора

С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова

Аннотация: Рассматривается кольцевое множество вида $K=B\times\mathbb{T}^{\infty}$, где $B$ – замкнутый шар банахова пространства $V$, а $\mathbb{T}^{\infty}$ – так называемый стандартный бесконечномерный тор. Этот тор задается равенством $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ – бесконечномерное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ – абстрактная целочисленная решетка в $E$. Основной результат данной статьи состоит в следующем: для некоторого класса гладких отображений $\Pi\colon K\to K$ устанавливаются достаточные условия существования и устойчивости инвариантного тороидального многообразия вида $A=\{(v,\varphi)\in K\colon v=h(\varphi)\in V, \varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\}$, где $h(\varphi)$ – некоторая непрерывная функция аргумента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Кроме этого, решается ряд сопутствующих вопросов. Во-первых, изучается проблема $C^m$-гладкости многообразия $A$ при любом натуральном $m;$ во-вторых, показывается, что все траектории отображения $\Pi$ с начальными условиями из $K$ стремятся к $A$, допуская асимптотическую фазу; в-третьих, осуществляется перенос полученных результатов на случай полупотоков и последующее применение разработанной теории к интегральным сетям нелинейных осцилляторов.
Библиография: 42 названия.

Ключевые слова: отображение, принцип кольца, бесконечномерный инвариантный тор, устойчивость, гладкость, полупоток, интегральные сети.

УДК: 517.926

MSC: 37D20, 46T20

Поступила в редакцию: 18.11.2025

DOI: 10.4213/rm10291