Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

About nonlinear integro-differential Volterra and Fredholm equations

[О нелинейных интегрально-дифференциальных уравнениях Вольтерра – Фредгольма]

M. M. Baiburin

L. N. Gumilyov Eurasian National University, Nur-Sultan, Republic of Kazakhstan

Аннотация: Рассмотрены две нелинейные задачи в терминах абстрактных операторных уравнений вида ${Bx=f}$. В первой задаче оператор $B$ содержит линейный дифференциальный операторa $A$, оператор Вольтерра $K$ с ядром сверточного типа и скалярное произведение векторов ${g(x) \Phi(u)}$ с нелинейными граничными функционалами $\Phi$. Первая задача записывается в виде уравнения ${Bu(x)=A u(x)–Ku(x)–g(x)\Phi(u)=f(x)}$ при граничных условиях ${D(B)=D(A)}$. Во второй задаче оператор $B$ содержит линейный дифференциальный операторa $A$ и скалярное произведение векторов ${g(x)F(A u)}$ с нелинейными ограниченными на ${C[a, b]}$ функционалами $F$, где ${F(A u)}$ обозначают нелинейный интеграл Фредгольма. Вторая задача задается уравнением ${Bu=A u–gF(A u)=f}$ при граничных условиях ${D(B)=D(A)}$.

Предложен прямой метод поиска точных решений нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений Вольтерра – Фредгольма, а именно в настоящей работе доказаны три теоремы о существовании точных решений.

Первая теорема означает, что при ненулевой константе $\alpha$ ${_0}$ интегрально-дифференциальное уравнение Вольтерра ${A u(x)–Ku(x)=0}$ сводится к интегральному уравнению Вольтерра и имеет уникальное нулевое решение. В то же время оператор ${A–K}$ замкнутый и непрерывно обратимый. Также если функции ${u(t)}$, ${g(t)}$ и ${f(t)}$ имеют экспоненциальный порядок $\alpha$, то неоднородное уравнение ${A u(x)–Ku(x)=f(x)}$ для каждой ${f(x)}$ имеет уникальное решение, показанное в настоящей работе.

Вторая теорема означает, что для первой исследуемой задачи с обратимым оператором ${A–K}$, для ${f(x)}$ и ${g(x)}$, принадлежащих непрерывному отрезку ${[a, b]}$, точное решение определяется уравнением ${u=(A–K)^{–1}f +(A–K)^{–1}gb*}$ для каждого вектора ${b^*= \Phi(u)}$, который решает нелинейную алгебраическую (трансцендентную) систему из $n$ уравнений ${b= \Phi((A–K)^{–1}f +(A–K)^{–1}gb)}$. В случае если последняя алгебраическая система не имеет решения, то исследуемая задача также не имеет решения.

Третья теорема означает, что точное решение второй исследуемой задачи определяется уравнением ${u=A^{– 1}(f+gd^*)}$ для каждого вектора ${d^*=F(A u)}$, который решает нелинейную алгебраическую (трансцендентную) систему из $n$ уравнений ${d=F(f + gd)}$. В этом случае мы имеем такое же свойство, если последняя алгебраическая система не имеет решения, то исследуемая задача также не имеет решения.

Два частных примера рассмотрены для каждой исследуемой задачи, показывающие по- лучение точных решений путем применения предложенного метода. В первом примере рассмотрено интегрально-дифференциальное уравнение Вольтерра – Фредгольма, а во втором примере рассмотрено уравнение с нелинейным интегралом Фредгольма.

УДК: 517.929.6

Поступила в редакцию: 10.11.2021
Исправленный вариант: 08.12.2021
Принята в печать: 08.12.2021

Язык публикации: английский

DOI: 10.15593/2499-9873/2021.4.01

Реферативные базы данных:

• 
•