Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

О периодических решениях уравнения Льенара

А. Р. Абдуллаев, А. А. Савочкина

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

Аннотация: Математическое моделирование многих задач естествознания приводит к необходимости исследования квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с линейной частью, не являющейся разрешимой однозначно для всех правых частей. Специфика таких задач состоит в том, что соответствующий линейный оператор не является обратимым. В литературе такие краевые задачи принято называть резонансными. С 70-х гг. прошлого столетия началась разработка методов исследования резонансных краевых задач, рассматриваемых как одно операторное уравнение. Весьма важным с точки зрения приложений направлением исследований является применение общих утверждений для изучения периодических краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.
Рассматривается задача о существовании $\omega$-периодического решения уравнения Льенара с отклоняющимся аргументом вида $x^{\prime\prime}(t)+f(x(t))x^\prime(t)+g(x_p(t))=h(t), t\in [0,\omega], x_p(t)=x(p(t)).$
Предполагается, что функция $p(t)$ измерима и ${p([0,\omega])\subset [0,\omega]}$. С помощью подхода, основанного на применении теорем существования для квазилинейного операторного уравнения, в работе получены достаточные условия существования хотя бы одного $\omega$-периодического решения рассматриваемого уравнения. Полученный результат уточняет некоторые известные результаты для уравнения Льенара. Особенность полученного результата состоит в том, что при выполнении условия ${p([0,\omega])\subset [0,\omega]}$ вид отклонения не влияет на существование решения

УДК: 517.929

Поступила в редакцию: 31.01.2020
Исправленный вариант: 11.02.2020
Принята в печать: 11.02.2020

DOI: 10.15593/2499-9873/2020.1.01

Реферативные базы данных:

•