МАТЕМАТИКА

Об одном методе построения решений однородной задачи Шварца

В. Г. Николаев

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Аннотация: В статье рассмотрена однородная задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису, или $J$-аналитических функций. При этом 2x2-матрица $J$ имеет собственные числа $\lambda$, $\mu$, лежащие выше вещественной оси. Собственные числа могут быть как различными, так и кратными. Во втором разделе статьи приведена постановка задачи. В начале третьего раздела доказана лемма 3.1, устанавливающая одно соотношение между вещественными и голоморфными функциями. Далее построен специальный базис оператора $J$. Затем с помощью данного базиса и леммы 3.1 построена $J$-аналитическая функция $\phi(z)$ в виде квадратичного вектор-полинома некоторого специального вида. Если собственные числа $\lambda$,$\mu$ матрицы $J$ фиксированы, то функция $\phi(z)$ зависит от элементов первого столбца матрицы J как от параметров. Эти параметры подбираются так, чтобы реальная часть функции $\phi(z)$ имела вид $(P,0)$, где $P=P(x,y)$ - положительно определенная квадратичная форма. В результате функция $\phi(z)$ - $(1,0)$ будет искомым решением однородной задачи Шварца в эллипсе $\Gamma : P(x,y) = 1$. Далее матрица $J$ восстанавливается по элементам первого столбца и собственным числам $\lambda$,$\mu$. Полученный результат оформлен в виде теоремы 3.1. В конце статьи приведены шесть примеров, построенных по изложенному выше алгоритму.

Ключевые слова: функции, аналитические по Дуглису, лямбда-голоморфные функции, собственное число матрицы, базис оператора, эллипс.

Поступила в редакцию: 30.12.2023
Принята в печать: 30.12.2023

DOI: 10.52575/2687-0959-2023-55-4-305-312