МАТЕМАТИКА

О централизаторе $\sigma$-нильпотентного корадикала $\sigma$-субнормальной подгруппы

И. М. Дергачева, И. П. Шабалина, Е. А. Задорожнюк

Белoрусский государственный университет транспорта, Гомель

Аннотация: На протяжении всей статьи все группы конечны и $G$ всегда обозначает конечную группу. Более того, $\sigma$ является некоторым разбиением множества всех простых чисел $\mathbb{P}$, т. е. $\sigma=\{\sigma_i\mid i\in I\}$, где $\mathbb{P}=\bigcup_{i\in I}\sigma_i$ и $\sigma_i\cap\sigma_j=\varnothing$ для всех $i\ne j$. Группа $G$ называется: $\sigma$-примарной, если $G$ является $\sigma_i$-группой для некоторого $i$; $\sigma$-нильпотентной, если каждый главный фактор $H/K$ в $G$ является $\sigma$-центральным в $G$, т. е. $(H/K)\rtimes(G/C_G(H/K))$ является $\sigma$-примарным. Символ $G^{\mathfrak{N}_\sigma}$ обозначает $\sigma$-нильпотентный корадикал группы $G$, т. е. пересечение всех нормальных подгрупп $N$ в $G$ таких, что $G/N$ является $\sigma$-нильпотентной группой; $Z_\sigma(G)$ — это $\sigma$-нильпотентный гиперцентр в $G$, т. е. произведение всех нормальных подгрупп $N$ в $G$ таких, что либо $N=1$, либо $N\ne1$ и каждый главный фактор $G$ ниже $N$ является $\sigma$-центральным в $G$. Подгруппа $A$ в $G$ называется $\sigma$-субнормальной в $G$, если имеется цепь подгрупп $A=A_0\leqslant A_1\leqslant\dots\leqslant A_n=G$, такая, что либо $A_{i-1}\unlhd A_i$, либо $A_i/(A_{i-1})_{A_i}$ является $\sigma$-примарной для всех $i=1,\dots,n$. В данной статье мы докажем, что если $S$ является $\sigma$-субнормальной подгруппой в $G$ и $Z_\sigma(E)=1$ для каждой подгруппы $E$ в $G$ такой, что $S\leqslant E$, тогда $C_G(S^{\mathfrak{N}_\sigma})\leqslant S^{\mathfrak{N}_\sigma}$.

Ключевые слова: конечная группа, $\sigma$-нильпотентная группа, $\sigma$-субнормальная подгруппа, $\sigma$-нильпотентный корадикал конечной группы, $\sigma$-нильпотентный гиперцентр.

УДК: 512.542

Поступила в редакцию: 31.10.2020