О точных равномерных оценках промежуточных производных четного порядка в пространствах Соболева

Д. Д. Казимиров^ab, И. А. Шейпак<sup>ab

a</sup> Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
^b Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Аннотация: Для функций, принадлежащих пространству Соболева $\mathring{W}^n_\infty[0,1]$, и произвольной точки $a\in(0,1)$ рассматриваются наилучшие оценки в неравенстве $|f^{(k)}(a)|\leqslant A_{n,k,\infty}(a) \cdot \|f^{(n)}\|_{L_\infty [0,1]}$, $0 \leqslant k < n$. Установлена связь оценочных функций $A_{n,k,\infty}$ с наилучшими приближениями сплайнов специального вида многочленами в $L_1[0,1]$. Введено понятие марковского множества $\mathcal{A}_{n,k}$, $0 \leqslant k < n$, значений параметра $a$, на котором получено представление оценочной функции $A_{n,k,\infty}$ в терминах абсолютного значения $k$-ой производной ядра Пеано $V_n$ порядка $n$: $A_{n, k, \infty}(a)= 2^{-(n-k)}|V_n^{(k)}(2a-1)|$. При произвольных значениях $n$ и $k$, $0 \leqslant k \leqslant n-2$, показано, что константа вложения $\Lambda_{n,k,\infty}$ пространств Соболева $\mathring{W}^n_\infty[0,1] \hookrightarrow \mathring{W}^k_\infty[0,1]$ равна максимальному значению функции $2^{-(n-k)}|V_n^{(k)}(2a-1)| $ на отрезке $[0,1]$. В случае нечетного $n$ и четного $k$, $0 \leqslant k < n$, значение константы вложения $\Lambda_{n,k,\infty}$ уточнено: справедливо равенство $\Lambda_{n,k,\infty}=2^{-(n-k)}|V_n^{(k)}(0)|$. В статье представлено выражение констант вложения $\Lambda_{n,k,\infty}$ при нечетном $n$ и четном $k$ в терминах гипергеометрических функций и исследовано асимптотическое поведение констант вложения при $n=2m+1 \to \infty$, когда значение $k$ или $n-k$ фиксировано.
Библиография: 19 названий.

Ключевые слова: оценки промежуточных производных, точные константы вложения, пространства Соболева, аппроксимация многочленами, ядро Пеано.

УДК: 517.518.23+517.518.8

PACS: 02.30.Mv, 02.30.Sa, 02.30.Gp

MSC: 46E35, 41A10, 26D10

Поступило: 24.07.2025
Исправленный вариант: 02.08.2025

DOI: 10.4213/mzm14795