О положительной определенности функций вида
$h(\rho(x))+\beta\rho(x)h'(\rho(x))$
В. П. Заставный Донецкий государственный университет
Аннотация:
В работе рассматривается следующая задача для положительно определенных на
$\mathbb{R}^n$ функций (класс
$\Phi(\mathbb{R}^n)$). Пусть функция
$h$ непрерывна на
$[0,+\infty)$, дифференцируема на интервале
$(0,+\infty)$,
$th'(t)\to 0$ при
$t\to+0$,
$h(t)\not\equiv h(0)$ и
$h(\rho(x))\in\Phi(\mathbb{R}^n)$. Здесь функция
$\rho$ непрерывна на
$\mathbb{R}^n$,
$\rho(x)>0$ при
$x\ne0$ и
$\rho(tx)=|t|\rho(x)$,
$x\in \mathbb{R}^n$,
$t\in\mathbb{R}$. Для
$\beta\in\mathbb{R}$ определим функцию
$H_\beta(t):=h(t)+\beta th'(t)$ при
$t>0$ и
$H_\beta(0):=h(0)$. Требуется найти множество таких
$\beta\in\mathbb{R}$, для которых
$H_\beta(\rho(x))\in\Phi(\mathbb{R}^n)$. При сделанных предположениях это множество является отрезком $[-\beta(h,\mathbb{R}^n,\rho),\widetilde{\beta}(h,\mathbb{R}^n,\rho)]$, который содержит точку
$0$. В теореме 1 найдены формулы для концов этого отрезка. В случае евклидовой нормы, когда
$(\mathbb{R}^n,\rho)=\ell_{2}^{n}$, в теореме 2 для широкого класса функций
$h$ найдено точное значение для правого конца:
$\widetilde{\beta}(h,\ell_{2}^{n})=1/n$.
В теореме 3 для функции
$h_p(t)=\exp(-t^p)$ в случае
$(\mathbb{R}^n,\rho)=\ell_{q}^{n}$ найдены точные значения
для правого конца и в нескольких случаях для левого: если
$0<p\leqslant q\leqslant 2$, то
$\widetilde{\beta}(h_p,\ell_{q}^{n})=1/n$,
${\beta}(h_q,\ell_{q}^{n})={\beta}(h_q,\ell_{q}^{1})/n$,
${\beta}(h_1,\ell_{1}^{n})=1/n$,
${\beta}(h_1,\ell_{2}^{n})=1$,
${\beta}(h_2,\ell_{2}^{n})=0$.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова:
положительно определенная функция, вполне монотонная функция,
проблема Шёнберга.
УДК:
517.5+
519.213
MSC: 42A82 Поступило: 14.12.2024
Исправленный вариант: 17.01.2025
DOI:
10.4213/mzm14593
Полный текст:
PDF файл (675 kB)
Первая страница:
PDF файл
