Эта публикация цитируется в
2 статьях
Асимптотические разложения решений $(n \times n)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметром
А. П. Косаревab,
А. А. Шкаликовab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Аннотация:
Рассматривается
$(n \times n)$-система обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
y' - \sum_{l=0}^{m}\lambda^{-l}B_l(x)y - \lambda^{-m}C(x, \lambda)y=\lambda A(x)y,
\qquad x \in [0, 1],
\quad m \in \mathbb{N},
$$
где
$$
A=\operatorname{diag}\{a_1, \dots, a_n\},
\qquad B_l=\{b_{jk}^l\},
\qquad C=\{c_{jk}(\cdot, \lambda)\},
\qquad y=(y_1, \dots, y_n)^\top.
$$
Предполагается, что при некотором целом
$m\geqslant 1$ элементы матриц
$A(x)$,
$B_l(x)$ – комплекснозначные функции, подчиненные условиям
\begin{gather*}
a_i \in W_1^m[0, 1],
\quad b^{0}_{ii} \in W_1^{m-1}[0, 1],
\quad b^{0}_{jk} \in W_1^{m}[0, 1],
\qquad j \ne k,
\quad i, j, k=1, \dots, n,
\\
b_{jk}^{l} \in W_1^{m-l}[0, 1],
\qquad j, k=1, \dots, n,
\quad l=1, \dots, m,
\end{gather*}
где
$W^k_1$ – пространства Соболева, а элементы матрицы
$C(\cdot, \lambda)$ – суммируемые на отрезке
$[0, 1]$ функции, причем
$\|c_{ij}(\cdot, \lambda)\|_{1} \to 0$ в метрике пространства
$L_1[0, 1]$ равномерно при
$\lambda \to \infty$,
$\lambda \in \mathbb{C}$.
Основные результаты работы уточняют и дополняют классические результаты теории Биркгофа–Тамаркина–Лангера об асимптотических разложениях фундаментальных решений указанной системы в секторах комплексной плоскости. Акцент делается на минимальных требованиях к гладкости элементов матриц системы и на предъявлении явных формул для матриц, реализующих асимптотические разложения.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова:
асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, спектральные асимптотики, асимптотики Биркгофа.
УДК:
517 Поступило: 15.09.2024
DOI:
10.4213/mzm14508
Полный текст:
PDF файл (694 kB)
