Асимптотические формулы для последовательностей,
возникающих в задаче приближения эйлерова числа
А. Б. Костинab,
В. Б. Шерстюковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Аннотация:
Рассматривается функция
$h(z)=\exp\{(1/z)\ln(1+z)\}=(1+z)^{1/z}$,
голоморфная в комплексной плоскости с разрезом по лучу
$(-\infty,-1]$ вещественной прямой.
Коэффициенты сходящегося в единичном круге степенного разложения функции
$h$
образуют знакопеременную последовательность рационально кратных
$e$ чисел, модули которых убывают к
$1$.
Доказаны развернутые асимптотические формулы как для самой последовательности коэффициентов,
так и для последовательности конечных разностей произвольного фиксированного порядка,
ассоциированных с последовательностью модулей коэффициентов.
Исследование мотивировано разнообразными аспектами задачи о рациональной аппроксимации числа
$e$,
а также одной нерешенной проблемой из теории конечных разностей.
Библиография: 20 названий.
Ключевые слова:
число
$e$, голоморфная функция, тейлоровские коэффициенты, интегральное представление,
гармоническое число, конечная разность, асимптотическая формула.
УДК:
517.547.3
PACS:
02.30.-f
MSC: 30B10 Поступило: 06.07.2024
Исправленный вариант: 15.09.2024
DOI:
10.4213/mzm14439
Полный текст:
PDF файл (603 kB)
Первая страница:
PDF файл
