Об одном критерии достижения максимального периода скрученными ЛРП над кольцами Галуа

М. А. Гольтваница

МИРЭА — Российский технологический университет,  Москва

Аннотация: Пусть $p$ — простое число, $R=\mathrm{GR}(q^d,p^d)$ — кольцо Галуа мощности $q^d$ и характеристики $p^d$, где $q = p^r$, $S=\mathrm{GR}(q^{nd},p^d)$ — расширение степени $n$ кольца $R$, и $\check{S}$ — кольцо эндоморфизмов модуля $_RS$. Последовательность $v$ над $S$, удовлетворяющую закону рекурсии
$$ \forall i\in\mathbb{N}_0 \colon v(i+m)=\psi_{m-1}(v(i+m-1))+\ldots+\psi_0(v(i)), \psi_0,\ldots,\psi_{m-1 }\in\check{S}, $$
будем называть скрученной линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) над $S$ с характеристическим многочленом $\Psi(x) = x^m - \sum_{j=0}^{m-1}\psi_jx^j$. Максимально возможный период последовательности такого вида равен $\tau=(q^{mn}-1)p^{d-1}$.
В работе получен критерий достижения максимального периода произвольной скрученной ЛРП в терминах характеристического многочлена, обобщающий соответствующий результат для так называемых $\sigma$-разделимых скрученных ЛРП.

Ключевые слова: кольцо Галуа, автоморфизм Фробениуса, последовательность максимального периода, скрученная ЛРП, закон рекурсии.

УДК: 519.113.6+512.714+519.719.2

Получено 21.V.2025

DOI: 10.4213/mvk506