Учащимся и учителям средней школы

Элементарное доказательство гипотезы Штейнгарца для биссектрис

О. Р. Каюмов, К. Е. Каширина

Омский государственный педагогический университет, филиал в г. Тара

Аннотация: Гипотезы Штейнгарца об эллипсах вызвали большой интерес среди геометров, занимающихся как элементарной, так и высшей геометрией. Они были сформулированы в двух статьях [1,2], которые вышли практически одновременно. Специалисты стали искать доказательства, и довольно скоро часть гипотез была опровергнута, а одна из них практически доказана. Это гипотеза о том, что на общем эллипсе всегда лежат шесть центров окружностей, вписанных в треугольные фрагменты исходного треугольника, разрезанного своими биссектрисами. В работе [3] она была проанализирована с помощью барицентрических координат; доказано, что упомянутые шесть точек лежат на общем коническом сечении. В статье [4] это же было доказано при помощи механического метода.
Статьи [3,4] довольно сложные и вряд ли доступны школьникам. В настоящей статье гипотеза доказана средствами элементарной геометрии, причем установлено, что шесть центров лежат именно на эллипсе, а не на другом коническом сечении. Статья вполне доступна учащимся старших профильных классов.

Ключевые слова: разбиение треугольника биссектрисами, центры окружностей, вписанных в треугольники разбиения, гипотеза Штейнгарца об общем эллипсе центров.

УДК: 514.112.3