Алгебры Ли со «слабыми» коммутативными свойствами и задача об однородности

А. В. Атанов^a, А. В. Лобода<sup>bc

a</sup> Воронежский государственный университет
^b МГУ им. М. В. Ломоносова
^c Воронежский государственный технический университет

Аннотация: В связи с задачей описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей пространства $\mathbb{C}^4$ изучаются орбиты 7–мерных алгебр Ли, содержащих 6–мерный нильрадикал и единственную 4–мерную абелеву подалгебру. В отличие от алгебр Ли с «большим запасом» коммутативности, имеющих либо вырожденные по Леви, либо трубчатые 7–мерные орбиты, в этом классе алгебр наличие невырожденых нетрубчатых орбит оказывается достаточно представительным. Показано, что 18 из 35 типов обсуждаемых алгебр Ли допускают в $\mathbb{C}^4$ орбиты с такими свойствами.
Промежуточным звеном в доказательстве названного утверждения является изучение реализаций 6–мерных и 7–мерных алгебр Ли в виде алгебр векторных полей в этом пространстве. Три из восьми нильпотентных 6–мерных алгебр Ли, содержащие единственную 4–мерную абелеву подалгебру, не допускают орбит с требуемыми свойствами. Реализации в $\mathbb{C}^4$ 7–мерных продолжений ещё четырёх 6–мерных алгебр Ли описаны явными формулами в специальных системах координат. Приведены примеры голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей пространства $\mathbb{C}^4$, являющихся орбитами построенных алгебр Ли голоморфных векторных полей. Библиография: 19 названий.

Ключевые слова и фразы: однородное многообразие, алгебра Ли, нильрадикал, абелева подалгебра, голоморфное преобразование, векторное поле, орбита алгебры, трубчатое многообразие, вещественная гиперповерхность.

УДК: 517.55, 512.816

MSC: 32V40, 17B66

Поступила в редакцию: 30.09.2024