Уравнение Лёвнера, неподвижные точки и угловая производная

В. В. Горяйнов

Московский физико–технический институт (государственный университет)

Аннотация: Под уравнениями Лёвнера понимают дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют семейства конформных отображений единичного круга (полуплоскости или полосы) на непрерывно расширяющиеся области. В зависимости от выбора нормирующих условий конформного отображения возникают вопросы определения временной шкалы, которая гарантировала бы дифференцируемость этого семейства, и вида производной. Лёвнер рассмотрел отображения единичного круга с нормировкой Римана, т. е. фиксировались образ начала координат и аргумент производной отображения в нуле. Он показал, что выбор модуля производной в начале координат обеспечивает дифференцируемость семейства отображений, и установил вид дифференциального уравнения. В настоящей работе рассматривается два случая граничной нормировки. При этом в качестве параметра семейства выбирается угловая производная в граничной точке единичного круга. Следуя Лёвнеру, выделяется две полугруппы голоморфных отображений единичного круга в себя, которые соответствуют этой задаче. Исследуемые вопросы переносятся на эволюционные семейства выделенных полугрупп. Получен вид дифференциальных уравнений нормированных эволюционных семейств в выделенных полугруппах и установлены теоремы существования и единственности для этих уравнений. Библиография: 13 названий.

Ключевые слова и фразы: уравнение Лёвнера, голоморфное отображение, неподвижная точка, угловая производная, лемма Лёвнера, полугруппа голоморфных отображений, нормированные эволюционные семейства.

УДК: 517.54

MSC: 37F44, 37C10, 37C25, 30C75, 30D05, 30D40, 60J67

Поступила в редакцию: 28.09.2024