Количественная теорема о срыве

П. И. Каледа

Научно-исследовательский и конструкторский институт энерготехники им. Н. А. Доллежаля, г. Москва

Аннотация: Теорема о срыве, доказанная Е. Ф. Мищенко и Л. С. Понтрягиным более 50 лет назад, является одним из фундаментальных результатов теории релаксационных колебаний. Её утверждения носят асимптотический характер. Ниже предлагается её количественный аналог. Это означает следующее. Теорема о срыве описывает отображение вдоль траекторий (отображение Пуанкаре) с трансверсали «до срыва» на трансверсаль «после срыва». Это отображение является экспоненциально сжимающим, и его отклонение от точки срыва по медленной координате имеет порядок $\varepsilon^{2/3}$, где $\varepsilon$ — малый параметр в быстро-медленной системе. Эти оценки асимптотические. Нормализовав систему с помощью выбора масштаба, мы доказываем, что при всех $\varepsilon$ не больше $e^{-12}$ отображение Пуанкаре определено, его отклонение принадлежит отрезку $\varepsilon^{2/3}[e^{-6 },e^3]$, а само отображение сжимает с коэффициентом, который не превосходит $e^{-k(\varepsilon)}$, где $k(\varepsilon) \ge 1/{6\varepsilon}-10^3$. Основным инструментом исследования является метод раздутия с разными весами в том виде, как он изложен в работе Крупы и Смольяна [KS01].
Библиография: 8 названий.

Ключевые слова и фразы: релаксационные колебания, быстро-медленная система, точка срыва, разрешение особенностей, нормальная форма.

УДК: 517.925.41

MSC: 37G10

Поступила в редакцию: 13.12.2010
Исправленный вариант: 21.03.2011

 Англоязычная версия: Transactions of the Moscow Mathematical Society, 2011, 72, 171–191

Реферативные базы данных:

• 
• 
•