Эта публикация цитируется в 7 статьях

A combinatorial approach to the number of solutions of systems of homogeneous polynomial equations over finite fields

[Комбинаторный подход к количеству решений однородных полиномиальных уравнений над конечным полем]

Peter Beelen^a, Mrinmoy Datta^b, Sudhir R. Ghorpade<sup>c

a</sup> Department of Applied Mathematics and Computer Science, Technical University of Denmark, 2800 Kgs. Lyngby, Denmark
^b Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Hyderabad, Kandi, Sangareddy, Telanagana, 502285, India
^c Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Bombay, Powai, Mumbai 400076, India

Аннотация: Мы приводим гипотетическую формулу для числа $e_r(d,m)$  — максимального количества $\mathbb F_q$-рациональных точек на проективном алгебраическом многообразии, заданном $r$ линейно независимыми однородными многочленами степени $d$ от $m+1$ переменной, с коэффициентами в конечном поле $\mathbb F_q$ из $q$ элементов, для случая $d<q$. Мы доказываем эту формулу для некоторых значений $r$; в общем случае мы приводим явные верхние и нижние оценки для $e_r(d,m)$ и показываем, что они иногда достигаются. Наш подход основывается на относительно недавнем результате, а именно, на оценке проективного отпечатка, а также на некоторых результатах из экстремальной комбинаторики, таких, как теорема Клементаса – Линдстрёма и ее варианты. Мы приводим также приложения к задача нахождения обобщенных весов Хемминга для проективных кодов Рида – Мюллера.

MSC: Primary 14G15, 11G25, 14G05; Secondary 11T71, 94B27, 51E20

Язык публикации: английский

DOI: 10.17323/1609-4514-2022-22-4-565-593