О решении дифференциальных уравнений с помощью нейронных сетей: целевые функционалы и верификация результатов

А. В. Музалевский^a, С. И. Репин<sup>ab

a</sup> Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
^b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Аннотация: Новым направлением в математическом моделировании является использование нейросетей для решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями. В статье обсуждаются два вопроса, которые имеют важное значение для развития этого подхода: выбор целевого функционала для машинного обучения и верификация результатов. Соответствующая адаптация теории апостериорных оценок функционального типа позволяет осуществлять надежный контроль качества нейросетевых решений и выявлять ситуации, когда последние являются слишком грубыми или просто неверными. Анализ нескольких примеров такого рода приводит к выводу о том, что выбор целевого функционала может существенно влиять на результат. В частности, процедуры машинного обучения с целевыми функционала ми, использующими невязку уравнения в виде коллокации по случайному набору точек, могут приводить к эффектам типа блокировки. Предлагаются новые функционалы, не подверженные недостаткам подобного рода. Эффективность методов машинного обучения с различными целевыми функционалами сравнивалась в многочисленных примерах, которые обсуждаются в заключительной части статьи.

Ключевые слова: оценки ошибок, машинное обучение, оптимизация нейронных сетей, решение дифференциальных уравнений нейронными сетями.

Поступила в редакцию: 21.12.2023
Исправленный вариант: 08.08.2024
Принята в печать: 09.09.2024

DOI: 10.20948/mm-2024-06-12