Аннотация:
В статье задача суперхеджирования европейского опциона отождествляется с динамической стохастической игрой с нулевой суммой между рынком и продавцом контракта. Продавец управляет портфелем базовых активов, стремясь минимизировать свой ожидаемый экспоненциальный риск. Рынок же задает распределение вероятностей дисконтированных цен обращающихся на нем активов: абсолютно непрерывное относительно заданного базового распределения и максимизирующее ожидаемый риск продавца. Получены рекуррентные соотношения для верхней и нижней цен игры. Показано, что отсутствие на рынке арбитражных возможностей является необходимым и достаточным условием существования самофинансируемого портфеля, на котором достигается нижняя грань в определении верхней цены игры. Такой портфель является суперхеджирующим, а верхняя цена игры позволяет вычислить верхнюю цену хеджирования. Кроме того, показано, что в модели рынка без арбитражных возможностей всегда имеет место игровое равновесие. Седловая точка игры, если она существует, определяет суперхеджирующий портфель и мартингальное распределений вероятностей, доставляющее верхнюю грань в определении верхней цены игры. Это распределение задает «наихудший» для продавца рынок в том смысле, что резерв суперхеджирующего портфеля на нем расходуется полностью. На примерах проведено сравнение результатов расчета опциона на основе вероятностного и потраекторного игровых подходов, проанализированы достоинства и недостатки выбора топологии $\sigma(L^{1},L^{\infty})$ и слабой топологии в вероятностной постановке задач этого типа.
Ключевые слова:
европейский опцион, неполный рынок, суперхеджирование, игра с нулевой суммой, теоретико-игровой подход, доминируемый вероятностный подход, игровое равновесие, седловая точка.
УДК:519.866.2 ББК:
22.185.1
Поступила в редакцию: 03.12.2024 Исправленный вариант: 20.07.2025 Принята в печать: 15.09.2025
Полный текст:
PDF файл (490 kB)