Аннотация:
Рассматриваются цепочки N односторонне связанных нелинейных уравнений первого порядка, у которой значение последнего элемента определяется через первый элемент цепочки. Цель работы состоит в исследовании локальной – в окрестности нулевого состояния равновесия – динамики этой системы. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и построены нормальные формы, определяющие локальное поведение решений. В простейших случаях, когда N = 2 и N = 3 проведен детальный анализ. Наиболее интересная часть исследований относится к случаю, когда значение N достаточно велико. Показано, что критические случаи тогда имеют бесконечную размерность. Методы. Стандартная схема исследования, базирующаяся на использовании метода локальных инвариантных многообразий и метода нормальных форм, оказывается неприменимой. Используется разработанный автором специальный метод бесконечномерной нормализации. Основные результаты состоят в построении так называемых квазинормальных форм – аналогов нормальных форм для бесконечномерного случая. Важно подчеркнуть, что даже при достаточно больших значениях количества элементов N цепочки квазинормальные формы, определяющие динамику исходной системы, существенно зависят от варьирования величины N. Отметим, что при определенных значениях коэффициентов системы динамика ее может быть достаточно сложной.
Полный текст:
PDF файл (1084 kB)