БИФУРКАЦИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС. КВАНТОВЫЙ ХАОС

Метод траекторных аттракторов для диссипативных уравнений в частных производных с малым параметром

В. В. Чепыжов<sup>ab

a</sup> Институт проблем передачи информации РАН, Москва, Россия
^b Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Нижний Новгород, Россия

Аннотация: Цель настоящего исследования — изучение предельного поведения траекторных аттракторов диссипативных уравнений и систем математической физики, зависящих от малого параметра, когда малый параметр стремится к нулю. Основное внимание уделено случаям, когда для предельного уравнения не выполнена или не доказана теорема единственности решения соответствующей начально-краевой задачи. Рассматриваются следующие задачи: аппроксимация 3D-системы Навье–Стокса с помощью $\alpha$-модели Лерэ, усреднение комплексного уравнения Гинзбурга–Ландау в области с густой перфорацией, а также предел нулевой вязкости 2D-системы Навье–Стокса с экмановским трением. Методы. В данной работе используется метод траекторных динамических систем и траекторных аттракторов, который особенно эффективен при изучении сложных уравнений с частными производными, для которых не имеет место или не доказана теорема единственности решения соответствующей начально-краевой задачи. Результаты. Для всех рассмотренных задач получены предельные уравнения и доказана сходимость по Хаусдорфу траекторных аттракторов исходных уравнений к траекторным аттракторам предельных уравнений в подходящей топологии, когда малый параметр стремится к нулю. Заключение. В работе показано, что метод траекторных аттракторов весьма эффективен при исследовании диссипативных уравнений математической физики с малым параметром. Удается найти предельные уравнения и доказать сходимость траекторных аттракторов изучаемых уравнений к траекторным аттракторам предельных уравнений в соответствующей топологии, когда малый параметр стремится к нулю.

Ключевые слова: глобальные аттракторы, траекторные аттракторы, малый параметр, сходимость аттракторов

УДК: 517.958

Поступила в редакцию: 15.08.2024
Принята в печать: 29.10.2024

DOI: 10.18500/0869-6632-003142