О $\theta$-длине конечной группы

Б. М. Погребинский, Я. Г. Беркович

г. Ростов-на-Дону

Аннотация: Рассматриваются специальные теоретико-групповые свойства $\theta$, т.е. свойства, удовлетворяющие следующим условиям: 1) Все нильпотентные группы являются $\theta$-группами, все $\theta$-группы разрешимы. 2) $\theta$ наследственно для подгрупп и эпиморфных образов. 3) Если $N$ — такой нормальный делитель в $G$, что $N/N\cap\Phi(G)\in\theta$, то $N\in\theta$, где $\Phi(G)$ — подгруппа Фраттини группы $G$. 4) Если $M$ и $N$ — нормальные $\theta$-подгруппы в $G$, то $MN\in\theta$. 5) Если $G/\Phi(G)\in\theta^1$, то $G$ порождается своими $\theta^1$-подгруппами (здесь $\theta^1$ — множество всех минимальных не $\theta$-групп).
Для специального свойства $\theta$ и разрешимой группы $G$ вводится понятие $\theta$-длины $n_\theta(G)$ по аналогии с тем случаем, когда $\theta$ — нильпотентность. Получены следующие результаты.
Теорема 1. Если свойство $\theta$ специально и в не $\theta$-группе $G$ все $\theta^1$-подгруппы разрешимы и достижимы, то $n_\theta(G)=2$.
Теорема 2. Если $G$ разрешима, а свойство $\theta$ удовлетворяет условиям 1)–4), то в $G$ имеется такая наибольшая подгруппа $D$, что $n_\theta(D)=i\le n_\theta(G)$, $N(D)=D$ и $D^G=G$ ($D^G$ — нормальная оболочка $D$ в $G$).
$S^1$-группой назовем группу Шмидта. $S^2$-группой назовем группу, которая ненильпотентна и Не $S^1$-rpynna, но у которой все собственные подгруппы нильпотентны или $S^1$-группы.
В теореме 3 классифицируются группы, у которых $S^2$-подгруппы лежат в разрешимом радикале.

УДК: 519.4

Поступила: 18.03.1971

Реферативные базы данных:

• 
•