Задача Дирихле для системы уравнений типа уравнения Трикоми в случае многосвязной области

Т. В. Чекмарев

г. Горький

Аннотация: В связной области $D^+$, ограниченной контурами $L_i$ ($i=1,2,\dots,n$), не пересекающимися друг с другом, и контуром $L_0$, охватывающим контуры $L_i$ ($i=1,2,\dots,n$), состоящим из отрезка $l=[x_0,x_1]$ оси $0x$ и простой гладкой дуги $\sigma_0$ с концами в точках $(x_0,0)$, $(x_1,0)$, расположенной в полуплоскости $y>0$, рассматривается система дифференциальных уравнений
$$ (1-2\nu)^{-2\nu}|y|^{2\nu}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0,\quad(1-2\nu)^{-2\nu}|y|^{2\nu}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0\quad(0<\nu<1/2).\eqno{(1)} $$
Доказывается существование и единственность решения системы (1), которое удослетворяет условиям $u|_L=f(\zeta)+a(\zeta)$, $v(\xi_l)=c_l$ $(\xi_l\in l)$, где $L=L_0\cup L_1\cup L_2\cup\dots\cup L_n$; $c_l$ — заданная постоянная; $f(\zeta)$ — заданная на $L$ функция, удовлетворяющая условию Гёльдера; $a(\zeta)$ — функция точки контура $L$, равная нулю на $L_0$ и принимающая постоянные значения $a_i$ ($i=1,2,\dots,n$), не задаваемые заранее, соответственно на контурах $L_i$ ($i=1,2,\dots,n$). Кроме того, доказывается существование и единственность решения в $D^+$ уравнения
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{2\nu}y\,\frac{\partial u}{\partial y}=0, $$
получаемого исключением функции $v$ из системы уравнений (1), которое удовлетворяет условию $u|_L=f(\zeta)$.

УДК: 517.544

Поступила: 27.10.1970

Реферативные базы данных:

• 
•