Множество Мандельброта для пары несобственных преобразований подобия плоскости

А. В. Багаев

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», ул. Большая Печерская, д. 25/12, г. Нижний Новгород, 603155, Россия

Аннотация: Исследуются аттракторы систем итерированных функций (СИФ), состоящих из двух несобственных преобразований подобия плоскости, т. е. преобразований подобия, меняющих ориентацию. Аттрактор для таких СИФ представляет собой либо связное, либо вполне несвязное множество. Найдены достаточные условия, при которых аттрактор такой СИФ является связным множеством. Для произвольной СИФ получены достаточные условия, при которых ее аттрактор является канторовым множеством. Исследуется аттрактор $\mathcal{A}_\alpha$ двух несобственных преобразований подобия $f_1(z)=\alpha\overline{z}$, $f_2(z)=\alpha(\overline{z}-1)+1$, $z\in\mathbb{C},$ в зависимости от параметра $\alpha\in\mathbb{C},$ $0<|\alpha|<1$. Показано, что $\mathcal{A}_\alpha$ — одно из следующих множеств: отрезок, канторово множество в отрезке, параллелограмм, канторово множество в параллелограмме. Вычислена размерность Хаусдорфа аттрактора $\mathcal{A}_\alpha$. Пусть $\mathcal{M}$ — множество всех значений параметра $\alpha$, при которых аттрактор $\mathcal{A}_\alpha$ является связным. По аналогии с М.Ф. Барнсли и А.Н. Харингтоном называем $\mathcal{M}$ множеством Мандельброта. Показано, что в отличие от случая собственных преобразований подобия множество Мандельброта $\mathcal{M}$ для пары несобственных преобразований подобия имеет простую структуру. Приведены примеры аттракторов из рассматриваемых классов СИФ.

Ключевые слова: система итерированных функций, аттрактор, преобразование подобия, множество Мандельброта, канторово множество.

УДК: 514.7

Поступила: 26.06.2024
Исправленный вариант: 19.01.2025
Принята к публикации: 26.03.2025

DOI: 10.26907/0021-3446-2025-10-30-43