Об одном семействе копул, частично совпадающих с границами Фреше–Хёффдинга

Л. К. Ширяева

Самарский национальный исследовательский университет им. академика С.П. Королева, ул. Московское шоссе, д. 34, г. Самара, 443086, Россия

Аннотация: Изучаются статистики теста Граббса, т. е. абсолютные величины экстремальных стьюдентизированных отклонений $n$ случайных наблюдений от среднего. Рассматривается случай, когда случайные наблюдения имеют произвольные непрерывные маргинальные распределения. Доказывается существование двух областей: в одной из них совместная функция распределения этих статистик есть линейная функция от их маргинальных функций распределения, в другой она обращается в нуль. Из совместного распределения статистик Граббса строится копула Граббса. Доказывается, что в случае $n > 3$ копула Граббса совпадает с нижней границей Фреше–Хёффдинга в двух подмножествах единичного квадрата. В случае $n=3$ копула Граббса является нижней границей Фреше–Хёффдинга. Повернутая на $180^{\circ}$ версия копулы Граббса также частично совпадает с нижней границей Фреше–Хёффдинга (в случае $n > 3$) и является нижней границей Фреше–Хёффдинга (случай $n = 3$). Доказывается, что повернутые на $90^{\circ}$ и $270^{\circ}$ версии копулы Граббса частично совпадают с верхней границей Фреше–Хёффдинга (в случае $n > 3$) и становятся верхней границей Фреше–Хёффдинга (случай $n = 3$).

Ключевые слова: экстремальные стьюдентизированные отклонения случайных наблюдений от среднего, копула, носитель копулы, несингулярная копула, нижняя граница Фреше–Хёффдинга, верхняя граница Фреше–Хёффдинга, повернутая версия копулы.

УДК: 519.243

Поступила: 08.07.2024
Исправленный вариант: 15.12.2024
Принята к публикации: 26.03.2025

DOI: 10.26907/0021-3446-2025-9-81-100