Прямое и обратное свойства о среднем значении для полилинейных функций и их приложение

Д. Н. Баротов

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Ленинградский просп., д. 49, г. Москва, 125167, Россия

Аннотация: Данная статья посвящена формулировке и доказательству теорем о среднем значении полилинейной функции, аналогичных прямой и обратной теоремам гармонических функций о среднем значении. Доказано, что значение произвольной полилинейной функции $f_P(x)$ в центральной точке $\mathbb{G}$ — произвольного $n$-мерного координатного параллелепипеда равно среднему значению функции $f_P(x)$ по множеству $k$-мерных граней $\mathbb{G}$ для любого $k\in\{0,\ldots,n\}$. На базе этого обосновано, что всего лишь один раз, вычислив значение полилинейного продолжения $f_P(x)$ произвольной булевой функции $f_B(x)$ в центральной точке $n$-мерного единичного куба, можно найти количество булевых векторов, на которых булева функция $f_B(x)$ принимает значение 1 и тем самым, в частности, определить выполнимость булевой функции $f_B(x)$. Также установлено, что такое свойство характерно только для полилинейных функций, т. е. доказано, что если для любого $\mathbb{G}$ — $n$-мерного координатного параллелепипеда и хотя бы для некоторого $k\in\{0,\ldots,n\}$ значение непрерывной функции $f(x)$ в центральной точке $\mathbb{G}$ равно среднему значению функции $f(x)$ по множеству $k$-мерных граней $\mathbb{G}$, то функция $f(x)$ полилинейна.

Ключевые слова: полилинейная функция, свойство среднего значения, булева функция.

УДК: 517.572: 519.716

Поступила: 18.06.2024
Исправленный вариант: 20.09.2024
Принята к публикации: 18.12.2024

DOI: 10.26907/0021-3446-2025-9-3-12