Задача определения многомерного ядра в диффузионно-волновом уравнении с дробной производной по времени

Д. К. Дурдиев^ab, З. А. Субхонова^ab, Х. Х. Турдиев<sup>ab

a</sup> Институт математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, ул. Университетская, д. 46, г. Ташкент, 100170, Республика Узбекистан
^b Бухарский государственный университет, ул. М. Икбола, д. 11, г. Бухара, 200117, Республика Узбекистан

Аннотация: Для дробно-временного волнового уравнения с интегральным членом типа свертки изучаются прямая задача Коши и обратная задача по отысканию многомерного ядра интеграла, зависящего, помимо временной переменной, от первых $n-1$ компонент пространственной переменной $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in \mathbb{R}^n.$ При этом известными задач являются данные Коши, задаваемые в момент времени $t=0$ и условие переопределения на гиперплоскости $x_n=0.$ Задачи эквивалентным образом сводятся к задачам, которые являются удобными для дальнейшего изучения. С помощью фундаментального решения дробно-временного волнового оператора, которое содержит обобщенную гипергеометрическую функцию Фокса, решение прямой задачи записывается в виде интегрального уравнения вольтерровского типа и изучаются его свойства. Используя результаты решения прямой задачи, решение обратной задачи также представляется как нелинейное интегральное уравнение. К этому уравнению применяется принцип сжимающых отображений и, тем самым, доказывается локальная разрешимость задачи.

Ключевые слова: дробная производная Капуто, $H$-функция Фокса, функция Миттаг–Леффлера, интегральное уравнение, теорема о неподвижной точке, существование, единственность, устойчивость.

УДК: 517.923: 517.958

Поступила: 30.04.2024
Исправленный вариант: 30.04.2024
Принята к публикации: 26.06.2024

DOI: 10.26907/0021-3446-2025-7-20-35