Единственность и представление решений обобщенного уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу

Г. В. Краснощёких, Вит. В. Волчков

Донецкий государственный университет, ул. Университетская, д. 24, г. Донецк, 283001, Россия

Аннотация: Пусть $\beta\geq\alpha>-1/2$, $F$ — четная функция класса $C^2(\mathbb{R})$. В работе изучаются свойства решений задачи Коши
\begin{equation*} \frac{\partial^2U}{\partial x^2}+\frac{(2\alpha+1)}{x}\frac{\partial U}{\partial x}= \frac{\partial^2U}{\partial t^2}+\frac{(2\beta+1)}{t} \frac{\partial U}{\partial t}, \quad x>0,\,\, t>0, \end{equation*}

\begin{equation*} U(x,0)=F(x), \quad \frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=0, \quad x\geq 0, \end{equation*}
связанные со структурой ядра оператора
$$ \mathcal{A}F(t)=\int\limits_{0}^{\pi}F(\sqrt{r^2+t^2-2rt\cos\theta})\sin^{2\alpha}\theta d\theta $$
при фиксированном $r>0$. Показано, что функции из $\mathrm{Ker}\, \mathcal{A}$ однозначно определяются своими значениями на $(0,r)$ и этот промежуток нельзя заменить на интервал $(0,\rho)$ с $\rho<r$. Найдено описание $\mathrm{Ker}\, \mathcal{A}$ в виде рядов по нормированным функциям Бесселя $j_\alpha(\lambda x)$, $\lambda\in\mathcal{N}_r$, где $\mathcal{N}_r=\{x>0: j_\alpha(rx)=0 \}$. С помощью этих результатов установлены новые теоремы единственности для решений указанной задачи Коши, получены теоремы о представлении решений, удовлетворяющих условию $U(\xi,t)=0$, $\xi\in E$, $t>0$, где множество $E$ состоит из одного положительного числа или $E$ совпадает с множеством положительных нулей функции $j_\alpha$, а также доказана новая теорема о двух радиусах.

Ключевые слова: обобщенный сдвиг, свертка Бесселя, сферические средние, задача Коши.

УДК: 517.5: 517.95

Поступила: 29.04.2024
Исправленный вариант: 29.04.2024
Принята к публикации: 18.12.2024

DOI: 10.26907/0021-3446-2025-6-57-72