О позитивности модифицированной схемы интегрирования по времени на основе локальных итераций

М. А. Бочев, В. Т. Жуков


Аннотация: Модифицированная схема локальных итераций (ЛИМ) - это явный метод интегрирования по времени, где аппроксимация и устойчивость для больших шагов по времени обеспечиваются итерациями на основе многочленов Чебышёва. Схема ЛИМ обладает двумя определяющими свойствами: (1) многочлен Чебышёва в схеме ЛИМ строится так, чтобы достичь бoльшую точность для важных низкочастотных мод решения, (2) число чебышёвских итераций выбирается в зависимости от размера шага по времени так, чтобы обеспечить устойчивость интегрирования по времени (а не для решения возникающей линейной системы, как это делается в неявных схемах). Важным свойством схемы ЛИМ, которое делает её уникальной в классе явных итерационных схем интегрирования по времени, является позитивность. В данной работе мы подробно исследуем это свойство схемы. До сих пор позитивность схемы ЛИМ была показана экспериментально в численных тестах, а также, частично, теоретически. Цель данной работы – получить более полное теоретическое и практическое представление о свойствах позитивности схемы.

Ключевые слова: схема локальных итераций модифицированная (ЛИМ), позитивность, монотонность, явные стабилизированные схемы Рунге-Кутты, методы Рунге-Кутты-Чебышёва, экспоненциальное интегрирование по времени.